Question

设函数f（x）=log_a（1+ax）-log_a（1-ax），其中a＞0，且a≠1，
（1）当a=2时，解不等式f（x）-1＞0；
（2）当a＞1时，若关于x的不等式f（x）≥log

(8x) a

（a＞1）恒成立，求a的取值范围；
（3）若f（x₀）=x₀-1，证明|x₀|＜1．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）log₂（1+2x）-log₂（1-2x）＞1，转化为：

1+2x＞0 1-2x＞0 1+2x 1-2x ＞2

求解即可．
（2）log_a（1+ax）-log_a（1-ax）＞log

(8x) a

（a＞1），

8x＞0 1+ax＞0 1-ax＞0 1+ax 1-ax ≥8x

即

0＜x＜ 1 a 8ax2+(a-8)x+1≥0

即对任意的x∈[0，

1

a

]，8ax²+（a-8）x+1＞0，
8ax+

1

x

+（a-2）＞0．转化为最值求解判断
（3）log_a（1+ax₀）-log_a（1-ax₀）=x₀-1，即

1+ax0

1-ax0

=a x0-1，构造函数，运用单调性证明．

解答： 解；（1）当a=2时，f（x）=log₂（1+2x）-log₂（1-2x），由f（x）-1＞0得：
log₂（1+2x）-log₂（1-2x）＞1，
转化为：

1+2x＞0 1-2x＞0 1+2x 1-2x ＞2

，
解不等式组得：

1

6

＜x＜

1

2

；
故：解不等式f（x）-1＞0为（

1

6

，

1

2

）．
（2）由f（x）≥log

(8x) a

（a＞1）
log_a（1+ax）-log_a（1-ax）＞log

(8x) a

（a＞1），

8x＞0 1+ax＞0 1-ax＞0 1+ax 1-ax ≥8x

即

0＜x＜ 1 a 8ax2+(a-8)x+1≥0

即对任意的x∈[0，

1

a

]，8ax²+（a-8）x+1＞0，
8ax+

1

x

+（a-2）＞0．
g（x）=8ax+

1

x

+（a-2）＞0的图象在x轴上方，
g（x）_min＞0，即

a≥8 2 8a +a-2＞0

或

1＜a＜8 f( 1 a )＞0

，
解不等式得a≥8或

1＜a＜8 a＞-3

，
即a的范围为：a＞1；
（3）∵f（x₀）=x₀-1，函数f（x）=log_a（1+ax）-log_a（1-ax），
log_a（1+ax₀）-log_a（1-ax₀）=x₀-1，
即

1+ax0

1-ax0

=a x0-1，
即-1-

2

ax0-1

=a x0-1，
构造函数，根据单调性可判断-1＜x₀＜1，
不等式|x₀|＜1成立．

点评：本题综合考查了函数的性质，运用解决复杂的求解范围问题，难度较大．