Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E是A₁B₁的中点，则下列四个命题：
①点E到平面ABC₁D₁的距离是

1

2

；
②直线BC与平面ABC₁D₁所成角等于45°；
③空间四边形ABCD₁在正方体六个面内的射影的面积最小值为

1

2

；
④BE与CD₁所成角的正弦值为

10

10

．
其中真命题的编号是

 

（写出所有真命题的编号）．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：EE到面ABC₁D₁的距离等于B₁到面ABC₁D₁的距离为

1

2

B₁C=

2

2

；BC与面ABC₁D₁所成的角即为∠CBC₁=45°；在四个面上的投影或为正方形或为三角形．最小为三角形；BE与CD₁所成的角即为BE与BA₁所成的角．

解答： 解：①E∈A₁B₁，A₁B₁∥面ABC₁D₁，?
∴E到面ABC₁D₁的距离等于B₁到面ABC₁D₁的距离为

1

2

B₁C=

2

2

．∴①不正确．?
②BC与面ABC₁D₁所成的角即为∠CBC₁=45°，∴②正确．?
③在四个面上的投影或为正方形或为三角形．
最小为三角形，面积为

1

2

，∴③正确．?
④BE与CD₁所成的角即为BE与BA₁所成的角，
即∠A₁BE，A₁E=

1

2

，A₁B=2，BE=

5

2

，?
cos∠A₁BE=

3 10

10

．∴sin∠A₁BE=

10

10

．∴④正确．
故答案为：②③④．?

点评：本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．