Question

过椭圆

x2

a2

+y²=1（a＞1）的右焦点F作相互垂直的两条弦AB和CD，若|AB|+|CD|的最小值为2

3

，则椭圆的离心率e=（　　）

• A、

  3

  3

• B、

  6

  3

• C、

  2

  2

• D、

  6

  6

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由于对称性，|AB|+|CD|最小时，AB、CD与X轴成45°，故斜率为1或-1，不妨设AB斜率=1，故AB=CD=

3

，设出AB方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合距离公式，利用AB=CD=

3

，即可得出结论．

解答： 解：由于对称性，|AB|+|CD|最小时，AB、CD与X轴成45°，故斜率为1或-1，不妨设AB斜率=1
故AB=CD=

3

设右焦点坐标为（c，0），AB坐标为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），AB方程为：y=x-c
代入椭圆方程得：（1+a²）x²-2ca²x+a²（c²-1）=0
x₁+x₂=

2ca2

1+a2

，x₁x₂=

a2(c2-1)

1+a2

，
∴AB²=2（x₁-x₂）²=2[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=

8a2(a2+1-c2)

(1+a2)2

=3，
把c²=a²-1代入上式得：

16a2

(1+a2)2

=3
∴a²=3
∴a=

3

，
∴c²=a²-1=3-1=2
∴c=

2

∴e=

c

a

=

6

3

．
故选：B．

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的性质，难度中等．