Question

如图，F₁，F₂分别是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF₂与椭圆C的另一个交点，∠F₁AF₂=60°．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）已知△AF₁F₂的面积为25

3

，求弦AB的长度．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）直接利用∠F₁AF₂=60°，求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设|BF₂|=m，则|BF₁|=2a-m，利用余弦定理以及已知△AF₁B的面积为25

3

，直接求a，b 的值．由此能求出|AB|．

解答： 解：（Ⅰ）∵F₁，F₂分别是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，
A是椭圆C的顶点，∠F₁AF₂=60°，
∴a=2c，
∴e=

c

a

=

1

2

．
（Ⅱ）设|BF₂|=m，则|BF₁|=2a-m，
在三角形BF₁F₂中，|BF₁|²=|BF₂|²+|F₁F₂|²-2|BF₂||F₁F₂|cos120°
整理，得（2a-m）²=m²+a²+am．
m=

3

5

a．
△AF₁B面积S=

1

2

|BA||F₁A|sin60°，
∴

1

2

a（a+

3

5

a）•

3

2

=25

3

，解得a=

5 10

2

．
∴c=

a

2

=

5 10

4

，∴F₁（-

5 10

4

，0），F₂（

5 10

4

，0），∴A（0，

5 10

4

），
∴直线AB：x+y-

5 10

4

=0
∴F₁到直线AB的距离d=

|- 5 10 4 - 5 10 4 |

2

=

5 5

2

，
∴|AB|=

25 3

1 2 d

=

25 3

5 5 4

=4

15

．

点评：本题考查椭圆离心率的求法，考查弦长的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式和椭圆性质的灵活运用．