Question

当数列{a_n}满足a₁=

1

3

且n≥2时，a_n=

an-1

2-an-1

 则数列{a_n}通项公式是

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件利用递推思想求出数列的前4项，由此猜an=

1

2n+1

，再用数学归纳法进行证明．

解答： 解：∵数列{a_n}满足a₁=

1

3

且n≥2时，a_n=

an-1

2-an-1

，
∴a₂=

1 3

2- 1 3

=

1

5

，
a₃=

1 5

2- 1 5

=

1

9

，
a4=

1 9

2- 1 9

=

1

17

，
由此猜想an=

1

2n+1

．
用数学归纳法证明：
①n=1时，a1=

1

2+1

=

1

3

，成立；
②假设n=k时，成立，即ak=

1

2k+1

，
则n=k+1时，a_k+1=

1 2k+1

2- 1 2k+1

=

1

2k+1+2-1

=

1

2k+1+1

，也成立．
∴an=

1

2n+1

．
故答案为：an=

1

2n+1

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意递推思想和数学归纳法的合理运用．