Question

已知函数f（x）=ax²+4x+b（a＜0，a，b∈R），设关于x的方程f（x）=0的两实根为x₁，x₂，方程
f（x）=x的两实根为α，β．
（Ⅰ）若|α-β|=1，求a与b的关系式；
（Ⅱ）若a，b均为负整数，且|α-β|=1，求f（x）的解析式；
（Ⅲ）若α＜1＜β＜2，求证：（x₁+1）（x₂+1）＜7．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（I）由题意可得ax²+3x+b=0有两个不等实根为α，β，可得△=9-4ab＞0，α+β=-

3

a

，αβ=

b

a

．
由|α-β|=1化简可得a与b的关系式．
（II）由（1）得a²+4ab=9，根据a，b均为负整数，求得a、b的值，可得所求函数解析式．
（III）由韦达定理以及α＜1＜β＜2，可得α+β=-

3

a

＜0，αβ=

b

a

＜2，故有-

1

a

＜1，由此化简：（x₁+1）（x₂+1）为

b

a

-

4

a

+1，由此求得（x₁+1）（x₂+1）的范围．

解答： 解：（I）由题意可得ax²+3x+b=0（a＜0，a，b∈R）有两个不等实根为α，β，
∴△=9-4ab＞0，α+β=-

3

a

，αβ=

b

a

．
由|α-β|=1得（α-β）²=1，即(α+β)2-4αβ=

9

a2

-

4b

a

=1，
∴9-4ab=a²，即a²+4ab=9（a＜0，a，b∈R）．
（II）由（1）得a²+4ab=9，∵a，b均为负整数，∴

a=-1 a+4b=-9

，或

a=-9 a+4b=-1

，或

a=-3 a+4b=-3

，
显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有

a=-1 a+4b=-9

，解得a=-1，b=-2．
故所求函数解析式为f（x）=-x²+4x-2．
（III）由已知得x1+x2=-

4

a

，x1x2=

b

a

，又由α＜1＜β＜2，
可得α+β=-

3

a

＜0，αβ=

b

a

＜2，
故-

1

a

＜1，且 (x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=

b

a

-

4

a

+1=＜2+4+1=7．

点评：本题主要考查二次函数的性质，韦达定理的应用，属于基础题．