Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=k

x-1

x+1

，
（1）求函数F（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（2）当x＞1时，函数f（x）＞g（x）恒成立，求实数k的取值范围；
（3）求证：ln（1+

1

12

）+ln（1+

1

22

）+…+ln（1+

1

n2

）＞

n

n+1

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求F′（x）=

x2+(2-2k)x+1

x(x+1)2

，要求函数F（x）的单调区间，需要判断F′（x）的符号．而导函数的分子上是一个二次函数，所以讨论k的取值，从而判断二次函数值的符号，从而判断出F（x）的单调性，找到它的单调区间．
（2）由函数f（x）＞g（x）恒成立，便得到f（x）-g（x）＞0恒成立，所以根据（1）的单调性就可求出k的取值范围．
（3）通过观察要证明的不等式，只要让不等式的左边每一项都大于

1

n+1

即可，所以构造函数G（x）=1+

1

x2

-

1

x+1

，只需证明G（x）＞0即可．

解答： 解：（1）F（x）=lnx-k

x-1

x+1

，∴F′（x）=

1

x

-

2k

(x+1)2

=

x2+(2-2k)x+1

x(x+1)2

；
①若（2-2k）²-4≤0，即0≤k≤2，x∈（0，+∞）时，x²+（2-2k）x+1≥0，∴F′（x）≥0；
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增，（0，+∞）是它的单调递增区间．
②若（2-2k）²-4＞0，即k＜0，或k＞2，方程x²+（2-2k-）x+1=0的解是x=k-1±

k2-2k

；
当k-1+

k2-2k

＜0，即k＜1，且k＜0，∴k＜0时，x∈（0，+∞）时，F′（x）＞0，∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增，（0，+∞）是它的单调递增区间．
当k-1-

k2-2k

＜0，且k-1+

k2-2k

＞0，则不存在符合该条件的k，所以这种情况不存在．
当k-1-

k2-2k

＞0，即k＞1，且k＞2，∴k＞2时，x∈（0，k-1-

k2-2k

）时，F′（x）＞0；x∈[k-1-

k2-2k

，k-1+

k2-2k

）时，F′（x）＜0；x∈[k-1+

k2-2k

，+∞）时，F′（x）＞0；
∴函数F（x）的单调递增区间是（0，k-1-

k2-2k

）和[k-1+

k2-2k

，+∞）；单调递减区间是[k-1-

k2-2k

，k-1+

k2-2k

）．
（2）令F（x）=f（x）-g（x），且F（1）=0，∴只要x＞1时F（x）＞F（1）即可，即F（x）在（1，+∞）上单调递增；
由（1）知：0≤k≤2时，F（x）在（1，+∞）上是增函数，∴0≤k≤2符合题意；F（x）在[k-1+

k2-2k

，+∞）单调递增，∴k-1+

k2-2k

≤1，∴k≥1，且k＞2，∴k＞2．
综上可得：k的取值范围是[0，+∞）．
（3）设h（x）=ln（1-

1

x2

），μ（x）=

1

x+1

，下面我们证，在[1，+∞）上，h（x）＞μ（x）．
要证ln(1+

1

x2

)＞

1

x+1

，只要证1+

1

x2

＞e

1

x+1

，即证1+

1

x2

-e

1

x+1

＞0；
设G（x）=1+

1

x2

-e

1

x+1

，G′（x）=-

2

x3

+

e 1 x+1

(x+1)2

，要使G′（x）＞0，我们可以让x³＞2（x+1）²，即x³-2（x+1）²＞0；
∴设φ（x）=x³-2（x+1）²，φ′（x）=3x²-4x-4；
∴x≥2时，3x²-4x-4＞0，即φ′（x）＞0，∴φ（x）≥φ（2）=7＞0；
∴G′（x）＞0，∴G（x）在[2，+∞）上单调递增，∴G（x）≥G（2）=ln

5

4

-

1

3

，由（2）知，x＞1时，lnx＞k

x-1

x+1

，这时取x=

5

4

，k=3，便有ln

5

4

＞

1

3

，∴G（2）＞0，∴在[2，+∞）上G（x）＞0，∴ln(1+

1

x2

)＞

1

x+1

；
又ln(1+

1

12

)＞

1

1+1

，所以：
ln(1+

1

12

)＞

1

1+1

＞

1

n+1

ln(1+

1

22

)＞

1

2+1

＞

1

n+1

…
ln(1+

1

n2

)＞

1

n+1

∴ln(1+

1

12

)+ln(1+

1

22

)+…+ln(1+

1

n2

)＞

n

n+1

．

点评：本题考查的知识点有：函数的导数和函数单调性的关系，通过求导数，判断函数的单调性，然后根据单调性判断两个函数值的大小关系．第一问通过求导数，就变成了判断二次函数值符号的问题了，而第二问要注意利用上（1）的结论，第三问的关键是构造函数G（x）．