给定椭圆C:x2a2+y2b2=1.称圆心在原点O.半径是a2+b2的圆为椭圆C的“准圆．已知椭圆C的一个焦点为F(2.0).其短轴的一个端点到点F的距离为3．(Ⅰ)求椭圆C及其“准圆的方程(Ⅱ)若点A是椭圆C的“准圆与x轴正半轴的交点.B.D是椭圆C上的相异两点.且BD⊥x轴.求AB•AD的取值范围,(Ⅲ)在椭圆C的“准圆上任取一点P(1.3).过� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

给定椭圆C：

=1（a＞b＞0），称圆心在原点O、半径是

a2+b2

的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F（

，0），其短轴的一个端点到点F的距离为

．
（Ⅰ）求椭圆C及其“准圆”的方程
（Ⅱ）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的相异两点，且BD⊥x轴，求

•

的取值范围；
（Ⅲ）在椭圆C的“准圆”上任取一点P（1，

），过点P作两条直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个公共点，且l₁，l₂分别与椭圆的“准圆”交于M，N两点．证明：直线MN过原点O．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题意知c=

，a=

b2+c2

，由此能求出椭圆C的方程和其“准圆”．
（Ⅱ）由题意，设B（m，n），D（m，-n），（-

＜m＜

，则有

+n2=1，又A点坐标为（2，0），故

=(m-2，n)，

=(m-2，-n)，由此能求出

•

的取值范围．
（Ⅲ）由已知条件证明l₁⊥l₂，由此得到MN是准圆的直径，从而能证明直线MN过原点O．

解答： （Ⅰ）解：由题意知c=

，a=

b2+c2

，解得b=1，
∴椭圆C的方程为

+y2=1，其“准圆”为x²+y²=4．
（Ⅱ）解：由题意，设B（m，n），D（m，-n），（-

＜m＜

，则有

+n2=1，
又A点坐标为（2，0），故

=(m-2，n)，

=(m-2，-n)，
∴

•

=(m-2)2-n2=m2-4m+4-(1-

)
=

m2-4m+3=

(m-

)2，
又-

＜m＜

，∴

(m-

)2∈[0，7+4

）．
∴

•

的取值范围是[0，7+4

）．
（Ⅲ）设P（s，t），则s²+t²=4，
当s=±

时，t=±1，则l₁，l₂其中之一斜率不存在，另一条斜率为0，
∴l₁⊥l₂．
当t≠±

时，设过P（s，t）且与有一个公共点的直线l的斜率为k，
则l的方程为y-t=k（x-s），代入椭圆C的方程，得：
x²+3[k（x-s）+t]²=3，即（3k²+1）x²-6k（t-ks）x+3（t-kt）²-3=0，
由△=36k²（t-ks）²-4（3k²+1）[3（t-kt）²-3]=0，
得（3-t²）k²+2stk+t²-3=0，其中3-t²≠0，
设l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂，则k₁，k₂分别是上述方程的两个根，
∴k₁k₂=-1，∴l₁⊥l₂．
综上所述，l₁⊥l₂，
∴MN是准圆的直径，∴直线MN过原点O．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题，突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高．