题目内容
如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱DD1⊥底面ABCD，AD⊥DC，AD∥BC，AD=DD1=2，BC=DC=1．点E是侧棱DD1的中点．（1）证明：B1E⊥AB；
（2）若点F在线段B1E上，且B1F=
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考点：直线与平面所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系
专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）证明B1E⊥AB，只需证明AB⊥平面BDD1B1；
（2）连接BF，则∠AFB为直线AF与平面BDD1B1所成角，求出AF即可得出结论．
（2）连接BF，则∠AFB为直线AF与平面BDD1B1所成角，求出AF即可得出结论．
解答：
（1）证明：∵侧棱DD1⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，
∴DD1⊥AB，
在梯形ABCD中，∵AD=2，BC=DC=1，
∴AB=BD=
，
∴AB2+BD2=AD2，
∴BD⊥AB，
∵BD∩DD1=D，
∴AB⊥平面BDD1B1，
∵B1E?平面BDD1B1，
∴B1E⊥AB；
（2）解：连接BF，则∠AFB为直线AF与平面BDD1B1所成角．
在矩形BDD1B1中，B1E=
，cos∠B1ED1=
，
由余弦定理可得BF=
，
∴AF=
=
，
∴直线AF与平面BDD1B1所成角的正弦值为
=
．
（1）证明：∵侧棱DD1⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴DD1⊥AB，
在梯形ABCD中，∵AD=2，BC=DC=1，
∴AB=BD=
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∴AB2+BD2=AD2，
∴BD⊥AB，
∵BD∩DD1=D，
∴AB⊥平面BDD1B1，
∵B1E?平面BDD1B1，
∴B1E⊥AB；
（2）解：连接BF，则∠AFB为直线AF与平面BDD1B1所成角．
在矩形BDD1B1中，B1E=
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由余弦定理可得BF=
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∴AF=
| AB2+BF2 |
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∴直线AF与平面BDD1B1所成角的正弦值为
| AB |
| AF |
| ||
| 5 |
点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定与性质，属于中档题．
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