Question

设b和c分别是先后投掷一枚骰子得到的点数，关于x的一元二次方程x²+bx+c=0．
（1）求方程x²+bx+c=0有实根的概率；
（2）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x²+bx+c=0有实根的概率；
（3）设f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），b∈[1，4]，c∈[2，4]，求f（-2）＞0成立时的概率．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式,几何概型

专题：概率与统计

分析：由题意列出所有的基本情况：即（b，c）的所有可能的取值，
（1）由方程有根必有△≥0，由此关系找出所有符合条件的（b，c），再由公式求出概率；
（2）由（1）得使方程x²+bx+c=0有实根所有符合条件的（b，c），再从当中找出先后两次出现的点数中有5的所有符合条件的（b，c），再由公式求出概率；
（3）此题是一个几何概率模型，先得到试验的全部可能的结果所构成的区域{（b，c）|1≤b≤4，2≤c≤4}，再画出构成事件的区域，再代入概率公式求解．

解答： 解：（b，c）的所有可能的取值有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36种．…（3分）
（1）要使方程x²+bx+c=0有实根，必须满足△=b²-4c≥0，符合条件的有：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共19种．
∴方程x²+bx+c=0有实根的概率为P=

19

36

．     …（6分）
（2）由（1）得在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x²+bx+c=0有实根结果有：
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），共7种．
∴在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x²+bx+c=0有实根的概率为P=

7

11

．…（9分）
（3）试验的全部可能的结果所构成的区域为{（b，c）|1≤b≤4，2≤c≤4}．
由f（-2）＞0得，4-2b+c＞0，
则构成事件{f（-2）＞0成立}的区域为{（b，c）|1≤b≤4，2≤c≤4，4-2b+c＞0}．
在b-O-c系中画出此不等式表示的平面区域，图中的阴影部分区域为事件构成的区域，

又b∈[1，4]，c∈[2，4]，它表示的平面区域是一个矩形，根据几何概型可得，
所以所求事件{f（-2）＞0成立}的概率为p=

3×2- 1 2 ×1×2

3×2

=

5

6

．   …（12分）

点评：本题考查了几何概型、古典概率下的事件概率公式，关键是根据题意判断出概率符合的模型．古典概率类型题的求解，首先列出所有的实验结果每种结果，代入古典概率的计算公式：P（A）=

m

n

（其中n是试验的所有结果，m是基本事件的结果数）；几何概型下的概率应用图解法来表示出所有的满足条件的区域，代入公式求解．