Question

已知函数f（x）=log₂x与函数y=g（x）的图象关于x=1对称．
（1）求g（x）的解析式，并求其定义域；
（2）若关于x的不等式f(x)+g(x)＜log2(x2-2ax+2a+4)(a∈R)恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得g（x）=f（2-x），根据解析式求出定义域．
（2）由题意可得x²-（a+1）x+a+2＞0在x∈（0，2）上恒成立，令h（x）=x²-（a+1）x+a+2，可得
①

a+1 2 ≤0 h(0)=a+2≥0

，或②

0＜ a+1 2 ＜2 h( a+1 2 )＞0

，或③

a+1 2 ≥2 h(2)=4-a≥0

．分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．

解答： 解：（1）由于函数f（x）=log₂x与函数y=g（x）的图象关于x=1对称，
可得g（x）=f（2-x）=log₂（2-x），显然定义域为（-∞，2）；
（2）∵f(x)+g(x)=log2x+log2(2-x)=log2x(2-x)＜log2(x2-2ax+2a+4)恒成立，
∴x（2-x）＜x²-2ax+2a+4在x∈（0，2）时恒成立，
即x²-（a+1）x+a+2＞0在x∈（0，2）上恒成立．
令h（x）=x²-（a+1）x+a+2，可得
①

a+1 2 ≤0 h(0)=a+2≥0

，∴

a≤-1 a≥-2

，∴-2≤a≤-1；
或②

0＜ a+1 2 ＜2 h( a+1 2 )＞0

，∴

-1＜a＜3 1-2 2 ＜x＜1+2 2

，∴-1＜a＜3；
或③

a+1 2 ≥2 h(2)=4-a≥0

∴

a≥3 a≤4

，∴3≤a≤4；
综上：-2≤a≤4．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．