Question

12．已知a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C的对边，btanA=2asinB．
（1）求A；
（2）若a=$\sqrt{7}$，2b-c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知利用正弦定理化简可求sinA=$\frac{sinA}{2cosA}$，结合sinA≠0，解得：cosA=$\frac{1}{2}$，即可得解A的值．
（2）由余弦定理可得7=b²+c²-bc，又2b-c=4，联立解得b，c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）∵btanA=2asinB．
∴$\frac{b}{sinB}=\frac{a}{\frac{tanA}{2}}$，
又∵$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
∴sinA=$\frac{tanA}{2}$=$\frac{sinA}{2cosA}$，
∵A∈（0，π），sinA≠0，
∴解得：cosA=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵A=$\frac{π}{3}$，a=$\sqrt{7}$，
∴由余弦定理可得：7=b²+c²-bc，①
又∵2b-c=4，②
∴联立①②解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=-2}\end{array}\right.$（舍去），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×3×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．