Question

20．如图，在△ABC中，AB⊥BC，点D，E分别在AB，AC上，AD=2DB，AC=3EC，沿DE将△ADE翻折起来，使得点A到P的位置，满足$PB=\sqrt{3}BD$．
（1）证明：DB⊥平面PBC；
（2）若$PB=BC=\sqrt{3}，PC=\sqrt{6}$，点M在PC上，且，求三棱锥P-BEM的体积．

Answer 1

分析 （1）设$AB=3b，则BD=b，PB=\sqrt{3}b，PD=2b$，由此利用勾股定理得BD⊥PB，再由BD⊥BC，能证明BD⊥面PBC．
（2）由勾股定理得PB⊥BC，再由BD⊥PB，得PB⊥面BCE，从而三棱锥P-BEM的体积${V_{P-MBE}}={V_{E-PMB}}=\frac{3}{4}{V_{E-PBC}}$．

解答 证明：（1）设$AB=3b，则BD=b，PB=\sqrt{3}b，PD=2b$，
∵BD²+PB²=PD²
∴BD⊥PB…（4分）
∵BD⊥BC，PB∩BC=B，
∴BD⊥面PBC．…（6分）
解：（2）∵$PB=\sqrt{3}，BC=\sqrt{3}，PC=\sqrt{6}$，
∴PB⊥BC
∵BD⊥PB且BD∩BC=B，∴PB⊥面BCE，
∴三棱锥P-BEM的体积${V_{P-MBE}}={V_{E-PMB}}=\frac{3}{4}{V_{E-PBC}}=\frac{3}{8}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．