Question

7．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，第二象限的点P（x₀，y₀）满足bx₀+ay₀=0，若线段PF₂的垂直平分线恰为双曲线C的过一、三象限的渐近线，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 4
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由题意，$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+c}$=$\frac{b}{a}$，$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-c}$=-$\frac{a}{b}$，$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-$\frac{b}{a}$，由此可得双曲线的离心率．

解答 解：由题意，$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+c}$=$\frac{b}{a}$，$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-c}$=-$\frac{a}{b}$，$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-$\frac{b}{a}$，
∴x₀=-$\frac{c}{2}$，y₀=$\frac{bc}{2a}$，
∴$\frac{\frac{bc}{2a}}{-\frac{3c}{2}}$=-$\frac{a}{b}$，∴$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，
∴e=$\sqrt{1+3}$=2，
故选D．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查对称性的运用，属于中档题．