Question

4．正方形ABCD边长为a，BC的中点为E，CD的中点为F，沿AE，EF，AF将△ABE，△EFC，△ADF折起，使D，B，C三点重合于点S，则三棱锥S-AEF的外接球的体积为$\frac{\sqrt{6}}{8}π{a}^{3}$．

Answer 1

分析 要求三棱锥的体积先找出可以应用的底面和对应的高，这里选择三角形SEF做底面，得到结果．

解答 解：由题意图形折叠为三棱锥，且由S出发的三条棱两两垂直，
补体为长方体${（2r）^2}={a^2}+{（{\frac{a}{2}}）^2}+{（{\frac{a}{2}}）^2}，\;\;4{r^2}=\frac{3}{2}{a^2}$，${r^2}=\frac{3}{8}{a^2}$，$r=\frac{{\sqrt{6}}}{4}a$，∴$V=\frac{4}{3}π{r^3}$=$\frac{4}{3}π{（{\frac{{\sqrt{6}}}{4}a}）^3}=\frac{4}{3}π\;•\;\frac{{6\sqrt{6}}}{4^3}{a^3}=\frac{{\sqrt{6}}}{8}π{a^3}$．
故答案为$\frac{\sqrt{6}}{8}π{a}^{3}$．

点评 本题是基础题，考查几何体的体积的求法，注意折叠问题的处理方法，考查计算能力．