Question

16．函数f（x）=x•e^x．
（1）求f（x）的极值；
（2）k×f（x）≥$\frac{1}{2}$x²+x在[-1，+∞）上恒成立，求k值的集合．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最小值即可；（2）分离参数，令φ（x）=$\frac{x+2}{{2e}^{x}}$，根据函数的单调性求出k的值即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞-1，
令f′（x）＜0，解得：x＜-1，
∴f（x）在（-∞，-1）递减，在（-1，+∞）递增，
∴f（x）在极小值是f（-1）=-$\frac{1}{e}$，无极大值；
（2）x＞0时，k≥$\frac{x+2}{{2e}^{x}}$，
令φ（x）=$\frac{x+2}{{2e}^{x}}$，则φ′（x）=$\frac{1}{2}$$\frac{（-x-1{）e}^{x}}{{e}^{2x}}$＜0，
φ（x）在（0，+∞）递减，
故φ（x）≤φ（0）=1，即k≥1；
-1≤x＜0时，k≤$\frac{x+2}{{2e}^{x}}$，
φ′（x）=$\frac{-x-1}{{e}^{x}}$＜0，
故φ（x）在[-1，0]递减，φ（x）≥φ（0）=1，
故k≤1，
综上，k=1，
故k∈{1}．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．