Question

13．已知函数f（x）=lnx+x．
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若方程f（x）=mx在区间[1，e²]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）导数值即为该点处的斜率，点斜式可得切线方程．
（2）分离变量，将原方程解的个数转化为直线y=m与函数$g（x）=\frac{lnx+x}{x}$的交点个数，再求导得函数g（x）的单调性与草图，即可求得实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵$f'（x）=\frac{1}{x}+1=\frac{x+1}{x}$，k=f'（1）=2，
∴切线方程为y-1=2（x-1），
即y=2x-1
（2）由题意$m=\frac{lnx+x}{x}$在区间[1，e²]内有唯一实数解
令$g（x）=\frac{lnx+x}{x}$，x∈[1，e²]，
∵$g'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}=0$，解得x=e，
∴函数g（x）在区间[1，e]上单调递增，在区间[e，e²]上单调递减
又g（1）=1，$g（{e^2}）=\frac{{{e^2}+2}}{e^2}＞g（1）$，
∴$m∈[{1，\frac{{{e^2}+2}}{e^2}}）$．
或m=g（e）=$\frac{1+e}{e}$．
∴$m∈[{1，\frac{{{e^2}+2}}{e^2}}）$∪{$\frac{1+e}{e}$}．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．