Question

14．已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若方程f（x）-log₄2^x+$\frac{1}{2}$x-m=0有解，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx是偶函数，可得f（-1）=f（1）．解出即可．
（2）利用函数单调性、偶函数的性质即可得出．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx是偶函数，
∴f（-1）=f（1）．
∴log₄5+k=log4$\frac{5}{4}$-k，
化为2k=-1，解得k=-$\frac{1}{2}$．
∴f（x）=log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x．
经过验证满足偶函数的定义．
（2）由f（x）-log₄2^x+$\frac{1}{2}$x-m=0得到：
m=log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x-log₄2^x+$\frac{1}{2}$x=$lo{g}_{4}^{\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}}}$=$lo{g}_{4}^{（{2}^{x+\frac{1}{{2}^{x}}}）}$，
∵2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$≥2，
∴m≥$\frac{1}{2}$．
∴实数m的取值范围是m≥$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数单调性、奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．