Question

某厂生产某种产品x件的总成本c（x）=1200+

2

75

x³（万元），已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为

 

件时，总利润最大．

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：分析题目数据建立数学模型，得出总利润函数L（x）=

500

x

•x-（1200+

2

75

x³）（x＞0），注意定义域，然后利用导数求其最值，还原为实际问题即可．

解答： 解：设产品单价为p，则有p²=

k

x

，
将x=100，p=50代入，得k=250000，
所以p=p（x）=

500

x

，
设总利润为L，L=L（x）=p（x）-c（x）=

500

x

•x-（1200+

2

75

x³）（x＞0）
即L（x）=

500

x

•x-1200-

2

75

x³，L'（x）=

250

x

-

2x2

25

，
令L'（x）=0，即

250

x

-

2x2

25

=0，解得x=25，
因为x=25是函数L（x）在（0，+∞）上唯一的极值点，
且是极大值点，从而是最大值点．
故答案为：25．

点评：本题考查利用导数解决生活中的优化问题的方法和步骤，属于中档题．