题目内容
10．由n（n≥2）个不同的数构成的数列a1，a2，…an中，若1≤i＜j≤n时，aj＜ai（即后面的项aj小于前面项ai），则称ai与aj构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数．如对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为2+1+0=3；同理，等比数列$1，-\frac{1}{2}，\frac{1}{4}，-\frac{1}{8}$的逆序数为4．（1）计算数列${a_n}=-2n+19（1≤n≤100，n∈{N^*}）$的逆序数；
（2）计算数列${a_n}=\left\{\begin{array}{l}{（{\frac{1}{3}}）^n}，n为奇数\\-\frac{n}{n+1}，n为偶数\end{array}\right.$（1≤n≤k，n∈N*）的逆序数；
（3）已知数列a1，a2，…an的逆序数为a，求an，an-1，…a1的逆序数．
分析 （1）由{an}为单调递减数列，可得逆序数为99+98+…+1．
（2）当n为奇数时，a1＞a3＞…＞a2n-1＞0．当n为偶数时：0＞a2＞a4＞…＞a2n．可得逆序数．
（3）在数列a1，a2，…an中，若a1与后面n-1个数构成p1个逆序对，则有（n-1）-p1不构成逆序对，可得在数列an，an-1，…a1中，逆序数为（n-1）-p1+（n-2）-p2+…+（n-n）-pn．
解答 解：（1）∵{an}为单调递减数列，∴逆序数为$99+98+…+1=\frac{（99+1）×99}{2}=4950$．
（2）当n为奇数时，a1＞a3＞…＞a2n-1＞0．
当n为偶数时：
$\begin{array}{l}{a_n}-{a_{n-2}}=-\frac{n}{n+1}+\frac{n-2}{n-1}（n≥4）\\=\frac{-2}{{{n^2}-1}}\\=\frac{-2}{（n+1）（n-1）}＜0\end{array}$
∴0＞a2＞a4＞…＞a2n．
当k为奇数时，逆序数为$（k-1）+（k-3）+…+2+\frac{k-3}{2}+\frac{k-5}{2}+…+1=\frac{{3{k^2}-4k+1}}{8}$；
当k为偶数时，逆序数为$（k-1）+（k-3）+…+1+\frac{k-2}{2}+\frac{k-4}{2}+…+1=\frac{{3{k^2}-2k}}{8}$．
（3）在数列a1，a2，…an中，若a1与后面n-1个数构成p1个逆序对，
则有（n-1）-p1不构成逆序对，所以在数列an，an-1，…a1中，
逆序数为$（n-1）-{p_1}+（n-2）-{p_2}+…+（n-n）-{p_n}=\frac{n（n-1）}{2}-a$．
点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、新定义逆序数，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于$4\sqrt{3}$．| A． | $[\frac{1}{2}，1]$ | B． | $（\frac{1}{2}，1]$ | C． | $（\frac{1}{2}，{log_3}2]$ | D． | $[\frac{1}{2}，{log_3}2]$ |
如图，F1，F2分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且焦距为2$\sqrt{2}$，动弦AB平行于x轴，且|F1A|+|F1B|=4．