Question

【题目】设等差数列是无穷数列，且各项均为互不相同的正整数，其前项和为，数列满足.

（1）若，求的值；

（2）若数列为等差数列，求；

（3）在（1）的条件下，求证：数列中存在无穷多项（按原来的顺序）成等比数列.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）由列方程组求得与，进而可得结果；（2）由为等差数列可得结合可得从而可得结果；（3）由可得对任意的， 都是中的项.

试题解析：（1）设等差数列的公差为，

因为无穷数列的各项均为互不相同的正整数，所以，

（1）由得， ，

解得，所以；

（2）因为数列为等差数列，所以，即，

所以，解得（已舍），

此时， ；

（3）由（1）知，等差数列的通项公式，

下证：对任意的， 都是中的项，

证明：当时，因为，

所以

，其中，

又时， ，

所以对任意的， 都是中的项，

所以，数列中存在无穷项（按原来的顺序）成等比数列．