Question

【题目】已知函数（）.

（1）若曲线在点处与直线相切，求的值；

（2）若函数有两个零点，，试判断的符号，并证明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时,，当时,，证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）利用函数在的导数等于，求得；（2）时，，为二次函数，两个零点为，，在两个零点中点处为二次函数的顶点，导数；当时，不妨设，，，化简的表达式为的函数式，利用导数求得这个表达式的取值范围，由此判断的正负.

试题解析：

（1），又∵.

所以.

（2）函数的定义域是.

若，则.

令，则.

又据题设分析知，

∴，.

又有两个零点，且都大于0，

∴，不成立.

据题设知

不妨设，，

所以.

所以.

又,

所以

引入（）,则.

所以在上单调递减.

而,所以当时,.

易知,,

所以当时,;当时,.