题目内容
【题目】已知函数
（
）.
（1）若曲线
在点
处与直线
相切，求
的值；
（2）若函数
有两个零点
，
，试判断
的符号，并证明.
【答案】（1）
；（2）当
时,
，当
时,
，证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）利用函数在
的导数等于
，求得
；（2）
时，
，为二次函数，两个零点为
，
，在两个零点中点
处为二次函数的顶点，导数
；当
时，不妨设
，
，
，化简
的表达式为
的函数式，利用导数求得这个表达式的取值范围，由此判断的正负.
试题解析：
（1）
，又∵
.
所以.
（2）函数
的定义域是
.
若
，则
.
令
，则
.
又据题设分析知
，
∴，.
又
有两个零点，且都大于0，
∴，不成立.
据题设知
不妨设，，
所以
.
所以
.
又
,
所以
引入
（
）,则
.
所以
在
上单调递减.
而
,所以当
时,
.
易知
,
,
所以当时,;当时,.
【题目】某校90名专职教师的年龄状况如下表:
年龄 | 35岁以下 | 35～50岁 | 50岁以上 |
人数 | 45 | 30 | 15 |
现拟采用分层抽样的方法从这90名专职教师中抽取6名老、中、青教师下乡支教一年.
（Ⅰ）求从表中三个年龄段中分别抽取的人数；
（Ⅱ）若从抽取的6个教师中再随机抽取2名到相对更加边远的乡村支教,计算这两名教师至少有一个年龄是35～50岁教师的概率。
【题目】某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
频率 | a | 0．2 | 0．45 | b | c |
（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；
（2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为
，等级系数为5的2件日用品记为
，现从
， 
这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．
【题目】《中国好声音（
）》是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目，于2012年7月13日在浙江卫视播出.每期节目有四位导师参加.导师背对歌手，当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练.已知某期《中国好声音》中，6位选手唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示：
导师转身人数（人） | 4 | 3 | 2 | 1 |
获得相应导师转身的选手人数（人） | 1 | 2 | 2 | 1 |
现从这6位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况.
（1）请列出所有的基本事件；
（2）求两人中恰好其中一位为其转身的导师不少于3人，而另一人为其转身的导师不多于2人的概率.
