Question

已知函数f（x）=

mx+n

x2+2

（m≠0）是定义在R上的奇函数．
（1）若m＞0，求f（x）在（-m，m）上递增的充要条件；
（2）若f（x）≤sinθcosθ+cos²θ+

2

-

1

2

对任意的实数θ和正实数x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数判断函数的单调性，由f′（x）＞0解得即可；
（2）设g（x）=sinθc0sθ+cos²θ+

2

-

1

2

，由题意得只需f（x）≤g（x）_min恒成立，利用三角变换求得g（x）的最小值，列出不等式解得即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

mx+n

x2+2

（m≠0）是定义在R上的奇函数．
∴f（0）=0，即

n

2

=0，∴n=0，
∴f（x）=

mx

x2+2

，显然f（-x）=-f（x）成立，故n=0时f（x）为R上的奇函数，
∴f′（x）=

m(x2+2)-mx•2x

(x2+2)2

=

-m(x2-2)

(x2+2)2

，
∵m＞0，∴-m＜0，
由f′（x）＞0可得x²-2＜0，解得-

2

＜x＜

2

，
即f（x）的递增区间是（-

2

，

2

），由题意只需（-m，m）⊆（-

2

，

2

），
∴0＜m≤

2

，
∴f（x）在（-m，m）上递增的充要条件是0＜m≤

2

．
（2）设g（x）=sinθc0sθ+cos²θ+

2

-

1

2

，
∵f（x）≤sinθcosθ+cos²θ+

2

-

1

2

对任意的实数θ和正实数x恒成立，
∴f（x）≤g（x）_min恒成立，
∵g（x）=sinθc0sθ+cos²θ+

2

-

1

2

=

1

2

sin2θ+

1+cos2θ

2

+

2

-

1

2

=

1

2

sin2θ+

1

2

cos2θ+

2

=

2

2

sin（2θ+

π

4

）+

2

，
∴g（x）min=-

2

2

+

2

=

2

2

，
∴只需f（x）≤

2

2

，即

mx

x2+2

≤

2

2

，
∵x＞0，∴只需

m

x+ 2 x

≤

2

2

，即m≤

2

2

（x+

2

x

）恒成立，
而

2

2

（x+

2

x

）≥

2

2

×2

2

=2，当且仅当x=

2

时取得最小值2，
∴m≤2，又m≠0，
∴实数m的取值范围是（-∞，0）∪（0，2]．

点评：本题是函数、导数、三角相结合的综合性问题，主要考查利用导数研究函数的单调性及三角函数求最值等知识，考查学生的等价转化思想的运用能力及运算求解能力．