题目内容
如图，直线PO⊥平面M，垂足为O，直线PA是平面M的一条斜线，斜足为A，其中∠APO=α，过点P的动直线PB交平面M于点B，∠APB=β，则下列说法正确的是①若α=0°，β=90°，则动点B的轨迹是一个圆；
②若α≠0°，β=90°，则动点B的轨迹是一条直线；
③若α≠0°，β≠90°且α+β=90°，则动点B的轨迹是抛物线；
④α≠0°，β≠90°且α+β＞90°，则动点B的轨迹是椭圆；
⑤α≠0°，β≠90°且α+β＜90°，则动点B的轨迹是双曲线．
考点：圆锥曲线的共同特征
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：①若α=0°，则O，A重合，β=90°，则动点B的轨迹是一个与PO垂直的平面；
②若α≠0°，β=90°，则动点B的轨迹是一条与PA垂直的直线；
③若α≠0°，β≠90°且α+β=90°，则过点P的动直线PB的轨迹是圆锥面，平面M与PA平行，平面M与圆锥面的交线是抛物线，所以动点B的轨迹是抛物线；
④α≠0°，β≠90°且α+β＞90°，则过点P的动直线PB的轨迹是圆锥面，平面M与圆锥面的交线是双曲线，所以动点B的轨迹是双曲线；
⑤α≠0°，β≠90°且α+β＜90°，则过点P的动直线PB的轨迹是圆锥面，平面M与圆锥面的交线是椭圆，所以动点B的轨迹是椭圆．
②若α≠0°，β=90°，则动点B的轨迹是一条与PA垂直的直线；
③若α≠0°，β≠90°且α+β=90°，则过点P的动直线PB的轨迹是圆锥面，平面M与PA平行，平面M与圆锥面的交线是抛物线，所以动点B的轨迹是抛物线；
④α≠0°，β≠90°且α+β＞90°，则过点P的动直线PB的轨迹是圆锥面，平面M与圆锥面的交线是双曲线，所以动点B的轨迹是双曲线；
⑤α≠0°，β≠90°且α+β＜90°，则过点P的动直线PB的轨迹是圆锥面，平面M与圆锥面的交线是椭圆，所以动点B的轨迹是椭圆．
解答：
解：①若α=0°，则O，A重合，β=90°，则动点B的轨迹是一个与PO垂直的平面，故①不正确；
②若α≠0°，β=90°，则动点B的轨迹是一条与PA垂直的直线，故②正确；
③若α≠0°，β≠90°且α+β=90°，则过点P的动直线PB的轨迹是圆锥面，平面M与PA平行，平面M与圆锥面的交线是抛物线，所以动点B的轨迹是抛物线，故③正确；
④α≠0°，β≠90°且α+β＞90°，则过点P的动直线PB的轨迹是圆锥面，平面M与圆锥面的交线是双曲线，所以动点B的轨迹是双曲线，故④不正确；
⑤α≠0°，β≠90°且α+β＜90°，则过点P的动直线PB的轨迹是圆锥面，平面M与圆锥面的交线是椭圆，所以动点B的轨迹是椭圆，故⑤不正确．
故答案为：②③．
②若α≠0°，β=90°，则动点B的轨迹是一条与PA垂直的直线，故②正确；
③若α≠0°，β≠90°且α+β=90°，则过点P的动直线PB的轨迹是圆锥面，平面M与PA平行，平面M与圆锥面的交线是抛物线，所以动点B的轨迹是抛物线，故③正确；
④α≠0°，β≠90°且α+β＞90°，则过点P的动直线PB的轨迹是圆锥面，平面M与圆锥面的交线是双曲线，所以动点B的轨迹是双曲线，故④不正确；
⑤α≠0°，β≠90°且α+β＜90°，则过点P的动直线PB的轨迹是圆锥面，平面M与圆锥面的交线是椭圆，所以动点B的轨迹是椭圆，故⑤不正确．
故答案为：②③．
点评：本题考查轨迹方程，考查平面与圆锥面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
小学生10分钟口算测试100分系列答案
相关题目
已知函数关于x的一元二次不等式ax2-5x-50＞0的解集为（x1，x2），且x2-x1=15，则a=（ ）
| A、-1 | ||
| B、1 | ||
C、-
| ||
D、
|
已知恒过定点（1，1）的圆C截直线x=-1所得弦长为2，则圆心C的轨迹方程为（ ）
| A、x2=4x+2y |
| B、x2=4y+2x |
| C、y2=4y+2x |
| D、y2=4x+2y |