Question

18．如图1，在等边△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A-BCF．

（Ⅰ）证明：AF⊥BC；
（Ⅱ）当∠BFC=120°时，求二面角A-DE-F的余弦值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，在线段BC上是否存在一点N，使得平面ABF⊥平面FDN？若存在，求出$\frac{{|{BN}|}}{{|{BC}|}}$的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AF⊥BF，AF⊥FC．由此能证明AF⊥BC．
（II） 以点F为原点，在平面BCF内过点F作FC的垂线作为x轴，FC为y轴，FA为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角A-DE-F的余弦值．
（III）在平面BCF内，过F作FN⊥BF交BC于N，推导出AF⊥FN，从而FN⊥面ABF，进而面ABF⊥面DFN．由此能求出在线段BC上存在一点N，满足面ABF⊥面DFN，且 $\frac{{|{BN}|}}{{|{BC}|}}=\frac{2}{3}$．

解答 （本题满分9分）
证明：（Ⅰ）∵等边△ABC，F为BC的中点，
∴AF⊥BC．
即AF⊥BF，AF⊥FC．
又∵BF∩FC=F，∴AF⊥面BCF．
又∵BC?面BCF，∴AF⊥BC．   …（3分）
解：（II） 如图，以点F为原点，在平面BCF内过点F作FC的垂线作为x轴，FC为y轴，FA为z轴，建立空间直角坐标系．
设FC=2，则有F（0，0，0），$A（{0，0，2\sqrt{3}}）$，$B（{\sqrt{3}，-1，0}）$，C（0，2，0），
∴$D（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-\frac{1}{2}，\sqrt{3}}）$，$E（{0，1，\sqrt{3}}）$．
∴$\overrightarrow{FD}=（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-\frac{1}{2}，\sqrt{3}}）$，$\overrightarrow{FE}=（{0，1，\sqrt{3}}）$，$\overrightarrow{AD}=（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-\frac{1}{2}，-\sqrt{3}}）$，$\overrightarrow{AE}=（{0，1，-\sqrt{3}}）$．
设平面DEF的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
因此$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{FD}•\overrightarrow{m}=0}\\{\overrightarrow{FE}•\overrightarrow{m}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_1}-\frac{1}{2}{y_1}+\sqrt{3}{z_1}=0\\{y_1}+\sqrt{3}{z_1}=0.\end{array}\right.$，
令z₁=1，则$\overrightarrow{m}$=（-3，-$\sqrt{3}$，1）．
设平面ADE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
因此有$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_2}-\frac{1}{2}{y_2}-\sqrt{3}{z_2}=0\\{y_2}-\sqrt{3}{z_2}=0.\end{array}\right.$，
令z₂=1，则$\overrightarrow{n}$=（3，$\sqrt{3}$，1）．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-11}{\sqrt{13}•\sqrt{13}}$=-$\frac{11}{13}$．
∴二面角A-DE-F的余弦值为$-\frac{11}{13}$．         …（6分）
（III）在线段BC上存在一点N，满足面ABF⊥面DFN，且 $\frac{{|{BN}|}}{{|{BC}|}}=\frac{2}{3}$．
证明如下：
在平面BCF内，过F作FN⊥BF交BC于N，∵AF⊥面BCF，FN?面BCF，∴AF⊥FN．
又∵FN⊥BF，AF∩BF=F，∴FN⊥面ABF．
又∵FN?面DFN，∴面ABF⊥面DFN．
设FN=a，∵∠BFC=120°，BF=FC，∴∠FBC=∠FCB=30°．
又∵FN⊥BF，∴BN=2a．∵∠NFC=∠FCN=30°，
∴FN=NC=a．∴BC=3a．∴$\frac{BN}{BC}=\frac{2}{3}$．         …（9分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点的位置的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．