Question

退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20～80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]绘制频率分布直方图，如图所示．若规定年龄分布在[20，40）岁的人为“青年人”，[40，60）为“中年人”，[60，80]为“老年人”．

（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；
（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由频率分布直方图能估算所调查的600人的平均年龄．
（Ⅱ）由频率分布直方图知“老年人”所点频率为

1

5

，依题意，X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）由频率分布直方图估算所调查的600人的平均年龄为：
25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48（岁）．
（Ⅱ）由频率分布直方图知“老年人”所点频率为

1

5

，
∴从该城市20～80年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为

1

5

，
依题意，X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=

C

0 3

(

4

5

)3=

64

125

，
P（X=1）=

C

1 3

(

1

5

)(

4

5

)2=

48

125

，
P（X=2）=

C

2 3

(

1

5

)2(

4

5

)=

12

125

，
P（X=3）=

C

3 3

(

1

5

)3=

1

125

，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	64 125	48 125	12 125	1 125

EX=0×

64

125

+1×

48

125

+2×

12

125

+3×

1

125

=

3

5

．

点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．