Question

已知函数f（x）=2^|x-m|和函数g（x）=x|x-m|+2m-8，其中m为参数，且满足m≤5．
（1）若m=2，写出函数g（x）的单调区间（无需证明）；
（2）若方程f（x）=2^|m|在x∈[-2，+∞）上有唯一解，求实数m的取值范围；
（3）若对任意x₁∈[4，+∞），存在x₂∈（-∞，4]，使得f（x₂）=g（x₁）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由二次函数性质可知函数g（x）的单调增区间为（-∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）；
（2）方程f（x）=2^|m|可化为（x-m）²=m²，解得x=0或x=2m，根据题意可得2m=0或2m＜-2，从而可知实数m的取值范围；
（3）由题意可知g（x）的值域应是f（x）的值域的子集．分情况讨论f（x）和g（x）的值域，即可确定实数m的取值范围．

解答： 解：（1）m=2时，g(x)=

x2-2x-4(x≥2) -x2+2x-4(x＜2)

，
∴函数g（x）的单调增区间为（-∞，1），（2，+∞），
单调减区间为（1，2）．
（2）由f（x）=2^|m|在x∈[-2，+∞）上有唯一解，
得|x-m|=|m|在x∈[-2，+∞）上有唯一解．
即（x-m）²=m²，解得x=0或x=2m，
由题意知2m=0或2m＜-2，
即m＜-1或m=0．
综上，m的取值范围是m＜-1或m=0．
（3）由题意可知g（x）的值域应是f（x）的值域的子集．
∵f(x)=

2x-m(x≥m) 2m-x(x＜m).

①m≤4时，f（x）在（-∞，m）上单调递减，[m，4]上单调递增，
∴f（x）≥f（m）=1．
g（x）在[4，+∞）上单调递增，
∴g（x）≥g（4）=8-2m，
∴8-2m≥1，即m≤

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2

．
②当4＜m≤5时，f（x）在（-∞，4]上单调递减，
故f（x）≥f（4）=2^m-4，g（x）在[4，m]上单调递减，
[m，+∞）上单调递增，
故g（x）≥g（m）=2m-8
∴2^m-4≤2m-8，
解得5≤m≤6．
又4＜m≤5，
∴m=5
综上，m的取值范围是(-∞，

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2

]∪{5}

点评：本题考查导数在函数单调性中的应用，方程根的存在定理，以及存在性问题的转化，属于难题．