Question

11．已知点F（-2，0）在以原点为圆心的圆O内，且过F的最短的弦长为2．
（1）求圆O的方程；
（2）过F任作一条与两坐标标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，求M点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意知：过F且垂直与x轴的弦长最短，由此能求出圆O的方程．
（2）设直线AB的方程为x=ky-2（k≠0），代入圆方程x²+y²=5，得（k²+1）y²-4ky-1=0，由此利用韦达定理，结合已知性质能求出M点的坐标．

解答 解：（1）由题意知：过F且垂直与x轴的弦长最短，
设圆O的半径为r，则r=$\sqrt{5}$，
∴圆O的方程为x²+y²=5．…（6分）
（2）弦AB过F且与两坐标轴都不垂直，可设直线AB的方程为x=ky-2（k≠0），
并将它代入圆方程x²+y²=5，得：（ky-2）²+y²=5，即（k²+1）y²-4ky-1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{4k}{{k}^{2}+1}$，y₁y₂=$\frac{-1}{{k}^{2}+1}$，
设M（m，0），∵∠AMB被x轴平分，∴k_AM+k_BM=0，
即$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-m}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-m}$=0，y₁（x₂-m）+y₂（x₁-m）=0，
即y₁（ky₂-2）+y₂（ky₁-2）-（y₁-y₂）m=0，
∴2ky₁y₂-（y₁+y₂）（m+2）=0，
∴2k×$\frac{-1}{{k}^{2}+1}$-$\frac{4k}{{k}^{2}+1}$×（m+2）=0，
∵k≠0，∴1+2（m-2）=0，解得m=-$\frac{5}{2}$，
∴M点的坐标（-$\frac{5}{2}$，0）．

点评 本题考查圆的方程的求法，考查点的坐标的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．