Question

已知函数f（x）=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f（

1

2

）=

2

5

．
（1）确定函数f（x）的解析式．
（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数．
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由奇函数得f（0）=0，求得b，再由已知，得到方程，解出a，即可得到解析式；
（2）运用单调性的定义，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
（3）运用奇偶性和单调性，得到不等式f（t-1）+f（t）＜0即为f（t-1）＜-f（t）=f（-t），
得到不等式组，解出即可．

解答： （1）解：函数f（x）=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，
则f（0）=0，即有b=0，
且f（

1

2

）=

2

5

，则

1 2 a

1+ 1 4

=

2

5

，解得，a=1，
则函数f（x）的解析式：f（x）=

x

1+x2

（-1＜x＜1）；
（2）证明：设-1＜m＜n＜1，则f（m）-f（n）=

m

1+m2

-

n

1+n2

=

(m-n)(1-mn)

(1+m2)(1+n2)

，由于-1＜m＜n＜1，则m-n＜0，mn＜1，即1-mn＞0，
（1+m²）（1+n²）＞0，则有f（m）-f（n）＜0，
则f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）解：由于奇函数f（x）在（-1，1）上是增函数，
则不等式f（t-1）+f（t）＜0即为f（t-1）＜-f（t）=f（-t），
即有

-1＜t-1＜1 -1＜t＜1 t-1＜-t

，解得

0＜t＜2 -1＜t＜1 t＜ 1 2

，
则有0＜t＜

1

2

，
即解集为（0，

1

2

）．

点评：本题考查函数的解析式的求法和单调性的证明和运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．