Question

已知-

π

2

＜β＜0＜α＜

π

2

，cos（α-β）=

3

5

，sinβ=-

5

13

，则sinα=

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：计算题,三角函数的求值

分析：由-

π

2

＜β＜0＜α＜

π

2

，sinβ=-

5

13

，可得cosβ=

12

13

，sinα＞0，cosα＞0，cosα=

1-sin2α

，由于cos（α-β）=

3

5

，代入即可解得sinα的值．

解答： 解：∵-

π

2

＜β＜0＜α＜

π

2

，sinβ=-

5

13

，
∴cosβ=

1-sin2β

=

1-(- 5 13 )2

=

12

13

且sinα＞0，cosα＞0，cosα=

1-sin2α

，
∴cos（α-β）=

3

5

，
⇒cosαcosβ+sinαsinβ=

3

5

，
⇒

12

13

1-sin2α

-

5

13

sinα=

3

5

，
⇒sin²α+

30

65

sinα+

9

25

-

144

169

=0，
⇒sinα=

33

65

．
故答案为：

33

65

．

点评：本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．