Question

已知点P（a，b），a，b满足a²+b²≤1，则关于x的二次方程4x²+4bx+3a²=0有实数根的概率为（　　）

• A、

  1

  6

• B、

  1

  3

• C、

  2

  3

• D、

  5

  6

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：由题意，以a为横坐标、b为纵坐标建立直角坐标系，可得满足a²+b²≤1的点（a，b）在单位圆及其内部，如图所示．若关于x的方程4x²+4x+3a²=0有实数根，则点（a，b）满足a+b≤1，即在单位圆内且直线a+b=1的下方．由此结合几何概型计算公式，用图中黄色阴影部分的面积除以单位圆的面积，即可得到所求的概率．

解答： 解：∵实数a，b满足a²+b²≤1
∴以a为横坐标、b为纵坐标建立直角坐标系，
可得所有的点（a，b）在以O为圆心，半径为1的圆及其内部，
即单位圆及其内部，如图所示

若关于x的方程4x²+4bx+3a²=0有实数根，
则满足△=16b²-4×4×3a²≥0，解之得3a²≤b²，3a≤±b，
符合上式的点（a，b）在圆内并且在如图的阴影部分，
其面积为S₁=

1

3

π，
又∵单位圆的面积为S=π×1²=π
∴关于x的方程x²-2x+a+b=0无实数根的概率为P=

1

3

；
故选B．

点评：本题给出a、b满足的关系式，求关于x的方程有实数根的概率，着重考查了一元二次方程根的判别式和几何概型计算公式等知识，属于中档题．