Question

5．已知数列{a_n}为等差数列，数列{b_n}满足b_n=a_n+n+4，若b₁，b₃，b₆成等比数列，且b₂=a₈．
（1）求a_n，b_n；
（2）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}•{b}_{n}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}是公差为d的等差数列，运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；
（2）求得$\frac{1}{{a}_{n}•{b}_{n}}$=$\frac{1}{（n+2）（2n+6）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）设数列{a_n}是公差为d的等差数列，
由b_n=a_n+n+4，若b₁，b₃，b₆成等比数列，
可得b₁b₆=b₃²，
即为（a₁+5）（a₆+10）=（a₃+7）²，
由b₂=a₈，即a₂+6=a₈，
可得d=$\frac{{a}_{8}-{a}_{2}}{8-2}$=1，
则（a₁+5）（a₁+5+10）=（a₁+2+7）²，
解得a₁=3，
则a_n=a₁+（n-1）d=3+n-1=n+2；
b_n=a_n+n+4=n+2+n+4=2n+6；
（2）$\frac{1}{{a}_{n}•{b}_{n}}$=$\frac{1}{（n+2）（2n+6）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$），
则前n项和S_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n+3}$）=$\frac{n}{6n+18}$．

点评 本题考查等差数列通项公式的运用，等比数列的中项的性质，同时考查数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于中档题．