Question

16．由于春运的到来，南昌火车站为舒缓候车室人流的压力，决定在候车大楼外建立临时候车区，其中K288次列车候车区是一个总面积为50m²的矩形区域（如图所示），矩形场地的一面利用候车厅大楼外墙（长度为12m），其余三面用铁栏杆围，并留一个长度为2m的入口．现已知铁栏杆的租用费用为80元/m．设该矩形区域的长为x （单位：m），租用铁栏杆的总费用为y（单位：元）
（1）将y表示为x的函数，并求出租用此区域所用铁栏杆所需费用最小值及相应的x；
（2）若所需总费用不超过2160元，则x的取值范围是多少？

Answer 1

分析 （1）由题意得矩形的长为x-2，宽为$\frac{50}{x}$，铁栏杆的租用费用为80元/m，由此得出y关于x的表达式，将其化简后，利用基本不等式求出费用最小值，并求出不等式等号成立时x的值；
（2）由y≤2160，运用二次不等式的解法，化简整理，即可得到x的范围．

解答 解：（1）该矩形区域的长为xm，宽为$\frac{50}{x}$m，
依题意有y=80（$\frac{50}{x}$•2+x-2），其中2＜x≤12，
由均值不等式可得：$y=80（\frac{100}{x}+x-2）≥80（2\sqrt{100}-2）=1440$，
当且仅当$\frac{100}{x}=x$即x=10时取“=”号．
综上：当x=10m时，租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，最小费用为1440元．
（2）由题意可得$y=80（\frac{100}{x}+x-2）≤2160$，
∴$\frac{100}{x}+x-2≤27$，
∴x²-29x+100≤0，
∴（x-25）（x-4）≤0，
∴4≤x≤25，
又∵x≤12
∴4≤x≤12．

点评 本题考查了基本不等式在最值问题中的应用，注意等号成立的条件，认真审题并列出函数的解析式是解题的关键，考查了运算能力，属于中档题．