Question

17．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．ccosA+$\sqrt{3}$csinA-b-a=0．．
（1）求角C的大小；
（2）求y=sinA+sinB的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知等式可得sin（C-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，又结合C∈（0，π），即可求得角C的值；
（2）转化sinA+sinB为A的正弦函数，根据A的范围，推出相位的范围，然后求解函数的最值．

解答 解：（1）由已知及正弦定理可得：sinA+sinB=$\sqrt{3}$sinCsinA+sinCcosA，又A+B+C=π，
∴sinA+sin（A+C）=$\sqrt{3}$sinCsinA+sinCcosA…3分
整理可得：1+cosC=$\sqrt{3}$sinC，
即：$\sqrt{3}$sinC-cosC=1，
有：sin（C-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，…6分
又C∈（0，π），
∴C-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，
∴C=$\frac{π}{3}$．…7分
（2）sinA+sinB=sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）=sinA+sin$\frac{2π}{3}$cosA-cos$\frac{2π}{3}$sinA
=$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）．…（9分）
因为0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
所以$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$．
所以sinA+sinB的取值范围为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理以及两角和与差的三角函数公式的应用，考查了正弦函数的图象和性质，三角形的解法，考查计算能力和数形结合思想的应用，属于中档题．