Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=6a_n+2ⁿ⁺¹，a₁=1．
（1）求证：数列{

an

2n

+

1

2

}是等比数列；
（2）若数列{a_n+r2ⁿ}是等比数列，求r；
（3）求

an

2

．

Answer 1

考点：等比关系的确定

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）可对等式两边同除以2ⁿ⁺¹，再由等比数列的定义，即可得证；
（2）可由等比数列的性质，得到r的方程，解出，再加以检验即可；
（3）由（1）得到a_n，即可得到所求．

解答： （1）证明：数列{a_n}满足a_n+1=6a_n+2ⁿ⁺¹，a₁=1，
令b_n=

an

2n

+

1

2

，则b_n+1=

an+1

2n+1

+

1

2

，
则有

an+1

2n+1

+

1

2

=3（

an

2n

+

1

2

），即有b_n+1=3b_n，
故数列{

an

2n

+

1

2

}是首项为1，公比为3的等比数列；
（2）解：由（1）得，

an

2n

+

1

2

=3^n-1，
即有a_n=2ⁿ（3^n-1-

1

2

），
若数列{a_n+r2ⁿ}是等比数列，
即有a₁+2r，a₂+4r，a₃+8r成等比数列，
即1+2r，10+4r，68+8r成等比数列，
则（1+2r）（68+8r）=（10+4r）²，
解得r=

1

2

，
则a_n+r2ⁿ=2ⁿ（3^n-1-

1

2

）+

1

2

•2ⁿ=

1

3

•6ⁿ，
则{a_n+r2ⁿ}是以2为首项，6为公比的等比数列；
（3）解：由（2）得，

an

2

=2^n-1（3^n-1-

1

2

）=6^n-1-2^n-2．

点评：本题考查等比数列的判断，注意运用定义，考查等比数列的性质，考查构造数列的思想方法求复杂数列的通项的方法，考查运算能力，属于中档题．