Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=

4an-1

2an-1+1

（n≥2）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明不等式：a₁+a₂+a₃+…+a_n＞

3n-16

2

．

Answer 1

考点：数列递推式,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由数列{a_n}满足a₁=1，a_n=

4an-1

2an-1+1

（n≥2）．取倒数可得：

1

an

=

1

2

+

1

4an-1

，转化为等比数列的通项公式即可得出证明：
（2）由于a_n=

3

2

(1-

2

2+4n

)＞

3

2

(1-

1

22n-1

)，利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： （1）解：由数列{a_n}满足a₁=1，a_n=

4an-1

2an-1+1

（n≥2）．
取倒数可得：

1

an

=

1

2

+

1

4an-1

，
化为

1

an

-

2

3

=

1

4

(

1

an-1

-

2

3

)，
∴数列{

1

an-1

-

2

3

}是等比数列，首项为1-

2

3

=

1

3

．
∴

1

an

-

2

3

=

1

3

×(

1

4

)n-1．
∴a_n=

3×4n

4+2×4n

．
（2）证明：∵a_n=

3

2

(1-

2

2+4n

)＞

3

2

(1-

1

22n-1

)，
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n＞

3

2

[n-

1 2 (1- 1 4n )

1- 1 4

]＞

3

2

(n-

2

3

)=

3

2

n-1＞

3n-16

2

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出，考查了通过放缩证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．