Question

解关于x的不等式：

2ax-a2

＞1-x（a＞0）．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：在同一直角坐标系中作出y=

2ax-a2

（a＞0），与y=1-x的图象，分当a＞1、a=1、0＜a＜1三类讨论，分别解得不等式

2ax-a2

＞1-x（a＞0）的解集即可．

解答： 解：在同一直角坐标系中作出y=

2ax-a2

（a＞0），与y=1-x的图象：

半抛物线y=

2ax-a2

（a＞0）的顶点A（a，0），
当a＞1时，由图知，在区间[a，+∞）上，y=

2ax-a2

（a＞0）的图象在直线y=1-x的上方，所以不等式

2ax-a2

＞1-x（a＞0）的解集为{x|x≥a}；
当a=1时，不等式

2ax-a2

＞1-x（a＞0）的解集为{x|x＞a}；
当0＜a＜1时，设y=

2ax-a2

（a＞0）与y=1-x相交于点P（x₀，y₀），如图：

由

y= 2ax-a2 y=1-x

消去y得：x²-（2+2a）x+1+a²=0，
因为△=（2+2a）²-4（1+a²）=8a＞0，
∴x=

2(1+a)- 8a

2

=1+a-

2

a或x=

2(1+a)+ 8a

2

=1+a+

2

a（抛物线的下支与y=1-x的交点的横坐标，舍去），
由图可得，P（1+a-

2

a，

2

a-a），不等式

2ax-a2

＞1-x（a＞0）的解集为{x|x＞1+a-

2

a}；
综上所述，当a＞1时，不等式

2ax-a2

＞1-x（a＞0）的解集为{x|x≥a}；
当a=1时，不等式

2ax-a2

＞1-x（a＞0）的解集为{x|x＞a}；
当0＜a＜1时，不等式

2ax-a2

＞1-x（a＞0）的解集为{x|x＞1+a-

2

a}．

点评：本题考查无理不等式的解法，作图是关键，考查分类讨论思想、等价转化思想与数形结合思想的综合运用，考查运算求解能力，属于难题．