题目内容
已知关于x的方程x2lna-2x2+2=0，在区间（1，2）上仅有一个实根，求实数a的取值范围．
考点：函数零点的判定定理
专题：函数的性质及应用
分析：令f（x）=x2lna-2x2+2，若方程x2lna-2x2+2=0，在区间（1，2）上仅有一个根，则f（x）=x2lna-2x2+2在区间（1，2）上仅有一个零点，即f（1）f（2）＜0，解得实数a的取值范围．
解答：
解：令f（x）=x2lna-2x2+2，
当a=e2时，f（x）=2无零点，
当a≠e2时，函数图象的对称轴为y轴，
若方程x2lna-2x2+2=0，在区间（1，2）上仅有一个根，
则f（x）=x2lna-2x2+2在区间（1，2）上仅有一个零点，
则f（1）f（2）＜0，
即2lna（2lna-3）＜0，
故lna∈（0，
），
故a∈（1，e
）
当a=e2时，f（x）=2无零点，
当a≠e2时，函数图象的对称轴为y轴，
若方程x2lna-2x2+2=0，在区间（1，2）上仅有一个根，
则f（x）=x2lna-2x2+2在区间（1，2）上仅有一个零点，
则f（1）f（2）＜0，
即2lna（2lna-3）＜0，
故lna∈（0，
| 3 |
| 2 |
故a∈（1，e
| 3 |
| 2 |
点评：本题考查的知识点是函数零点的判定定理，其中熟练掌握方程的根与函数零点之间的关系是解答的关键．
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