Question

11．已知（2x²+x-y）ⁿ的展开式中各项系数的和为32，则展开式中x⁵y²的系数为120．（用数字作答）

Answer 1

分析 根据（2x²+x-y）ⁿ的展开式中各项系数的和为32，即2ⁿ=32，求出n=5，将（2x²+x-y）⁵=[（x²+x）-y]⁵，利用通项公式，求出x⁵y²的项，可得其系数．

解答 解：由题意，（2x²+x-y）ⁿ的展开式中各项系数的和为32，即2ⁿ=32，
∴n=5，
那么（2x²+x-y）⁵=[（2x²+x）-y]⁵，
通项公式T_r+1=${C}_{5}^{r}（-y）^{r}（2{x}^{2}+x）^{5-r}$，
展开式中含有x⁵y²，可知r=2．
那么（2x²+x）³中展开必然有x⁵，
由通项公式，可得${C}_{3}^{t}（2{x}^{2}）^{3-t}{x}^{t}$
含有x⁵的项：则t=1，
∴展开式中x⁵y²的系数为${{C}_{5}^{2}C}_{3}^{1}{2}^{2}$=120．
故答案为120．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，把三项改为二项，利用通项公式展开式中含有x⁵y²，求出满足要求次数，是解题的关键．