Question

20．已知sinα=$\frac{4}{5}$，sin（α+β）=$\frac{3}{5}$，且α，β∈（0，π），则tanβ可能的取值是④⑤（填序号）．
①$\frac{25}{24}$；②-$\frac{25}{24}$；③$\frac{7}{24}$；④-$\frac{7}{24}$；⑤不存在．

Answer 1

分析 根据同角三角函数关系式和正切的和与差的公式计算．考虑α，β的范围，可得结论．

解答 解：sinα=$\frac{4}{5}$＞0，sin（α+β）=$\frac{3}{5}$＞0，
当α∈（0，$\frac{π}{2}$）时，cosα=$\frac{3}{5}$，则tanα=$\frac{4}{3}$，
当α+β∈（0，$\frac{π}{2}$）时，cos（α+β）=$\frac{4}{5}$，
则tan（α+β）=$\frac{3}{4}$，
当α+β∈（$\frac{π}{2}$，π）时，cos（α+β）=-$\frac{4}{5}$，
则tan（α+β）=-$\frac{3}{4}$，
那么：tan[（α+β）-α]=$\frac{tan（α+β）-tanα}{1+tan（α+β）tanα}$=$-\frac{7}{24}$或不存在．
故答案为：④⑤．

点评 本题考查了同角三角函数关系式和正切的和与差的公式计算．属于中档题．