Question

3．已知函数f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）=xlnx-x，则曲线y=f（x）在点（-e，f（-e））处的切线方程为x+y+e=0．

Answer 1

分析 运用偶函数的定义，可得f（-x）=f（x），得x＜0时，f（x）=-xln（-x）+x，求出导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，求得切点，运用点斜式方程，即可得到所求方程．

解答 解：函数f（x）为偶函数，可得f（-x）=f（x），
即有x＜0时，-x＞0，
当x＞0时，f（x）=xlnx-x，
可得f（-x）=-xln（-x）+x=f（x），
则x＜0时，f（x）=-xln（-x）+x，
导数为f′（x）=-ln（-x）-1+1=-ln（-x），
可得曲线y=f（x）在点（-e，f（-e））处的切线斜率为k=-lne=-1，
切点为（-e，0），
则曲线y=f（x）在点（-e，f（-e））处的切线方程为y-0=-（x+e），
即为x+y+e=0．
故答案为：x+y+e=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查函数的奇偶性的运用：求解析式，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于中档题．