Question

1．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的右焦点为F，过椭圆C中心的弦PQ长为2，且∠PFQ=90°，△PQF的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A₁、A₂分别为椭圆C的左、右顶点，S为直线$x=2\sqrt{2}$上一动点，直线A₁S交椭圆C于点M，直线A₂S交椭圆于点N，设S₁、S₂分别为△A₁SA₂、△MSN的面积，求$\frac{S_1}{S_2}$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由c=丨OF丨=$\frac{1}{2}$丨PQ丨=1，根据三角形的面积公式，即可求得b的值，a²=b²+c²=2，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）设S点坐标，求直线A₁S及A₂S代入椭圆方程，求得M和N点坐标，根据三角形的面积公式及基本不等式的性质，即可求得$\frac{S_1}{S_2}$的最大值．

解答 解：（Ⅰ）弦PQ过椭圆中心，且∠PFQ=90°，则c=丨OF丨=$\frac{1}{2}$丨PQ丨=1，--------（2分）
不妨设P（x₀，y₀）（x₀，y₀＞0），
∴，△PQF的面积=$\frac{1}{2}$×丨OF丨×2y₀=y₀=1，则x₀=1，b=1，------------（4分）
a²=b²+c²=2，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；--------（5分）
（Ⅱ）设S（2$\sqrt{2}$，t），直线A₁S：x=$\frac{3\sqrt{2}}{t}$y-$\sqrt{2}$，则$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3\sqrt{2}}{t}y-\sqrt{2}}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，
整理（$\frac{18}{{t}^{2}}$+2）y²-$\frac{12}{t}$y=0，解得y₁=$\frac{6t}{{t}^{2}+9}$，--------（7分）
同理，设直线A₂S：x=$\frac{\sqrt{2}}{t}$y+$\sqrt{2}$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{t}y+\sqrt{2}}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$
得（$\frac{2}{{t}^{2}}$+2）y²+$\frac{4}{t}$y=0，解得y₁=-$\frac{2t}{{t}^{2}+1}$，--------（8分）
则$\frac{S_1}{S_2}$=丨$\frac{{t}^{2}+9}{{t}^{2}+3}$×$\frac{{t}^{2}+1}{{t}^{2}+3}$丨--------（10分）
≤$\frac{[\frac{（{t}^{2}+9）+（3{t}^{2}+3）}{2}]^{2}}{（{t}^{2}+3）^{2}}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$，--------（11分）
当且仅当t²+9=3t²+3，即t=±$\sqrt{3}$时取“=”--------（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆与基本不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．