Question

7．数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，${a_n}+{a_{n+1}}=3×{2^{n-1}}$，则S₂₀₁₇=（　　）

• A． 2²⁰¹⁸-1
• B． 2²⁰¹⁸+1
• C． 2²⁰¹⁷-1
• D． 2²⁰¹⁷+1

Answer 1

分析 由a₁=1和${a_{n+1}}=3×{2^{n-1}}-{a_n}$，可知数列{a_n}唯一确定，并且a₂=2，a₃=4，a₄=8，猜测${a_n}={2^{n-1}}$，经验证${a_n}={2^{n-1}}$是满足题意的唯一解．利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：由a₁=1和${a_{n+1}}=3×{2^{n-1}}-{a_n}$，可知数列{a_n}唯一确定，并且a₂=2，a₃=4，a₄=8，
猜测${a_n}={2^{n-1}}$，经验证${a_n}={2^{n-1}}$是满足题意的唯一解．
∴S₂₀₁₇=$\frac{{2}^{2017}-1}{2-1}$=2²⁰¹⁷-1．
故选：C．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、猜想与归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．