题目内容
如图，四面体OABC中，OA，OB，OC两两垂直，且OA=| 3 |
①存在点D（点O除外），使得四面体DABC仅有3个面是直角三角形；
②存在点D，使得四面体DOBC的4个面都是直角三角形；
③存在唯一的点D，使得四面体DABC是正棱锥（底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，这样的棱锥叫做正棱锥）；
④存在唯一的点D，使得四面体DABC与四面体OABC的体积相等；
⑤存在无数个点D，使得AD与BC垂直且相等．
其中正确命题的序号是
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,棱锥的结构特征
专题：综合题,空间位置关系与距离
分析：对于①，当四面体D-ABC与四面体O-ABC一样时，即四面体ABCD的三条棱DA、DB、DC两两垂直，此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形；
②DC⊥平面OBC时，四面体DOBC的4个面都是直角三角形；
③根据对称性，可知，在平面ABC的两侧均存在点D使得四面体D-ABC是正棱锥，；
④使得D与平面ABC的距离等于O与平面ABC的距离的点有无数个；
⑤取BD=AB，CD=AC，AD=BC，AD中点E，可得BE⊥AD，CE⊥AD，从而AD垂直面BEC，即存在无数个点D，使得AD与BC垂直且相等，由此可得结论．
②DC⊥平面OBC时，四面体DOBC的4个面都是直角三角形；
③根据对称性，可知，在平面ABC的两侧均存在点D使得四面体D-ABC是正棱锥，；
④使得D与平面ABC的距离等于O与平面ABC的距离的点有无数个；
⑤取BD=AB，CD=AC，AD=BC，AD中点E，可得BE⊥AD，CE⊥AD，从而AD垂直面BEC，即存在无数个点D，使得AD与BC垂直且相等，由此可得结论．
解答：
解：对于①，∵四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，∴当四面体D-ABC与四面体O-ABC一样时，即四面体ABCD的三条棱DA、DB、DC两两垂直，此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故①正确；
②DC⊥平面OBC时，四面体DOBC的4个面都是直角三角形，故②正确；
③根据对称性，可知，在平面ABC的两侧均存在点D使得四面体D-ABC是正棱锥，故③不正确；
④使得D与平面ABC的距离等于O与平面ABC的距离的点有无数个，故④不正确；
⑤取BD=AB，CD=AC，AD=BC，AD中点E，可得BE⊥AD，CE⊥AD，从而AD垂直面BEC，即存在无数个点D，使得AD与BC垂直且相等，故⑤正确；
综上知，正确命题的序号为①②⑤
故答案为：①②⑤
②DC⊥平面OBC时，四面体DOBC的4个面都是直角三角形，故②正确；
③根据对称性，可知，在平面ABC的两侧均存在点D使得四面体D-ABC是正棱锥，故③不正确；
④使得D与平面ABC的距离等于O与平面ABC的距离的点有无数个，故④不正确；
⑤取BD=AB，CD=AC，AD=BC，AD中点E，可得BE⊥AD，CE⊥AD，从而AD垂直面BEC，即存在无数个点D，使得AD与BC垂直且相等，故⑤正确；
综上知，正确命题的序号为①②⑤
故答案为：①②⑤
点评：本题综合考查空间几何体的概念、线面关系，等价转化的思想，较难题．
练习册系列答案
全能练考卷系列答案
相关题目
世卫组织规定，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．清远市环保局从市区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶），从这15天的数据中任取3天的数据，则恰有一天空气质量达到一级的概率为
我们把离心率e=i是虚数单位，若复数Z=i（1+3i），则复数Z的虚部是（ ）
| A、-3 | B、3i | C、1 | D、i |