Question

若定义在[-2014，2014]上的函数f（x）满足：对于任意的x₁，x₂∈[-2014，2014]，有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2013，且x＞0时，有f（x）＞2013，f（x）的最大、小值分别为M、N，则M+N的值为（　　）

• A、4026
• B、4028
• C、2013
• D、2014

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：利用赋值法，f（0）=2f（0）-2013可求f（0），结合已知设x₁＜x₂，先证明函数的f（x）的单调性，进而可求函数的最大值与最小值．

解答： 解：∵对于任意x₁，x₂∈[-2014，2014]有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2013，
∴f（0）=2f（0）-2013，
∴f（0）=2013，
令x₁=2014，x₂=-2014，
∴f（0）=f（2014）+f（-2014）-2013，
∴f（2014）+f（-2014）=4026，
设x₁＜x₂∈[-2014，2014]，
则x₂-x₁＞0，
∵x＞0时，f（x）＞2013，
∴f（x₂-x₁）＞2013，
∴f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）-2013＞f（x₁），
∴函数f（x）在[-2014，2014]上单调递增，
∴f（x）的最大值与最小值分别为M=f（2014）和N=f（-2014），
则M+N=f（2014）+f（-2014）=4026，
故选：A

点评：本题考查抽象函数及其应用，先利用单调性的定义证明函数f（x）在R上为单调递增函数是关键，也是难点，考查分析、推理与运算能力，属于中档题．