Question

已知函数f（x）=alnx，a∈R．
（I）若曲线y=f（x）与曲线g（x）=

x

在交点处有共同的切线，求a的值；
（Ⅱ）若对任意x∈[1，e]，都有f（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（I）已知曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程，考虑到求解导函数的方法，先求出交点，再根据切线相等求出a．
（Ⅱ）由f（x）≥-x²+（a+2）x分离出参数a后，转化为求函数最值，利用导数可求最值；

解答： 解：（I）已知函数g（x）=

x

，f（x）=alnx，a∈R．
则：g′（x）=

1

2 x

，f′（x）=

a

x

（x＞0），
由已知曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在交点处有相同的切线，
故有

x

=alnx且

1

2 x

=

a

x

，
解得a=

e

2

；
（Ⅱ）由f（x）≥-x²+（a+2）x，得（x-lnx）a≤x²-2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，
∴lnx＜x，即x-lnx＞0，
∴a≤

x2-2x

x-lnx

恒成立，即a≤（

x2-2x

x-lnx

）_min．     
令t（x）=

x2-2x

x-lnx

，x∈[1，e]，求导得，t′（x）=

(x-1)(x+2-lnx)

(x-lnx)2

，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-lnx＞0，从而t′（x）≥0，
∴t（x）在[1，e]上为增函数，t_min（x）=t（1）=-1，
∴a≤-1．

点评：此题考查利用导函数的几何意义，考查利用导数研究函数的最值、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．