Question

在直三棱柱中，AA₁=AB=BC=3，AC=2，D是AC中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求点B₁到平面A₁BD的距离；
（3）求二面角A₁-DB-B₁的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,二面角的平面角及求法

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结AB₁，交A₁B于点O，连结OD，利用三角形的中位线定理，推导出OD∥B₁C，由此能够证明B₁C∥平面A₁BD．
（2）以D为坐标原点，以DC为x轴，以DB为y轴，以过D点垂直于AC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面A₁BD的法向量，即可求出点B₁到平面A₁BD的距离；
（3）利用向量法能求出二面角A₁-BD-B₁的余弦值．

解答： 解：（1）连结AB₁，交A₁B于点O，连结OD，
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=BC=3，
∴ABB₁A₁是正方形，∴O是AB₁的中点，
∵D是AC的中点，∴OD是△ACB₁的中位线，∴OD∥B₁C，
∵B₁C不包含于平面A₁BD，OD?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD．
（2）以D为坐标原点，以DC为x轴，以DB为y轴，
以过D点垂直于AC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AA₁=AB=BC=3，AC=2，D是AC的中点，
∴A₁（-1，0，3），B（0，2

2

，0），
D（0，0，0），B₁（0，2

2

，3），
∴

DA1

=（-1，0，3），

DB

=（0，2

2

，0），

DB1

=（0，2

2

，3），
设平面A₁BD的法向量

m

=（x，y，z），则

-x+3z=0 2 2 y=0

，
∴

m

=（3，0，1），
∴d=

| n • DB1 |

| n |

=

3 10

10

；
（3 ）平面B₁BD的法向量为

DC

=（1，0，0），
∴cos＜

DC

，

n

＞=

3 10

10

，
∴二面角的余弦值为

3 10

10

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．