Question

抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点恰是椭圆

X2

4

+

Y2

3

=1的一个焦点，过点F（

p

2

，0）的直线与抛物线C交于点A，B．
（1）求抛物线C的方程；
（2）O是坐标原点，求△AOB的面积的最小值；
（3）O是坐标原点，证明：

OA

•

OB

为定值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据已知条件知抛物线C的焦点（

p

2

，0）是椭圆的右焦点（1，0），这样便可求得p=2，也就得到了抛物线方程为y²=4x；
（2）过F的直线根据题意可分成两种情况：存在斜率k，（k≠0），和不存在斜率．存在斜率k时，方程为y=kx-k，联立抛物线方程可得y2-

4

k

•y-4=0，根据韦达定理可求y1+y2=

4

k

，y1y2=-4，而△AOB的面积可表示成S=

1

2

(y1-y2)=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

=2

1 k2 +1

＞2；而不存在斜率时容易求得S=2，所以△AOB的面积的最小值为2；
（3）由（2）即可求出

OA

•

OB

=-3，所以说

OA

•

OB

为定值．

解答： 解：（1）由已知条件知（

p

2

，0）=（1，0）；
∴p=2；
∴抛物线C的方程为y²=4x；
（2）F（1，0），∴F是抛物线C的焦点，如图，设A(

y12

4

，y1)，B(

y22

4

，y2)；
①若过F的直线存在斜率，设为k，该直线方程为y=kx-k；
根据题意知k≠0，∴x=

y

k

+1，带入抛物线方程y²=4x并整理得：
y2-

4

k

•y-4=0；
∴y1+y2=

4

k

，y1y2=-4；
∴△AOB的面积S=

1

2

•1•y1+

1

2

•1•(-y2)=

1

2

(y1-y2)=

1

2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=2

1 k2 +1

＞2；
∴即S＞2；
②当过F的直线不存在斜率，即垂直于x轴时，直线方程为x=1；
∴可求得A（1，2），B（1，-2），|AB|=4；
∴△AOB的面积S=2；
综上得△AOB的面积的最小值为2；
（3）由（2）知

OA

•

OB

=(

y12

4

，y1)•(

y22

4

，y2)=

y12•y22

16

+y1y2=1-4=-3；
∴

OA

•

OB

为定值．

点评：考查抛物线、椭圆的标准方程，以及焦点，以及直线的点斜式方程，韦达定理，求三角形面积的方法，向量数量积的运算．