Question

已知椭圆C的左，右焦点分别为F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），且该椭圆过点（-1，

3

2

）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知定点A（1，

1

2

），过原点O的直线l与曲线C交于M，N两点，求△MAN面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据椭圆的结合性质求解得出a²=4，b²=1，即可得出方程．
（Ⅱ）分类①直线l的斜率不存在时；
②直线l的斜率存在时，△MAN面积：

1

2

×|MN|•d=

2|k- 1 2 |

1+4k2

，转化为S_△MNA的平方为：

4k2-4k+1

1+4k2

=1-

4

4k+ 1 k

利用基本不等式求解得出最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C的左，右焦点分别为F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），
∴c=

3

，
∵该椭圆过点（-1，

3

2

）．
∴

1

a2

+

3 4

b2

=1，a²=b²+3，
∴椭圆C的方程：

x2

4

+y²=1．
（Ⅱ）①直线l的斜率不存在时，S_△MNA=1，
②直线l的斜率存在时，
设直线l的方程y=kx，与椭圆C交与M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立方程组得出：|MN|=4

1+k2 1+4k2

，
定点A（1，

1

2

）到直线l的距离d=

|k- 1 2 |

1+k2

，
∴S△MAN面积：

1

2

×|MN|•d=

2|k- 1 2 |

1+4k2

，
∴S_△MNA的平方为：

4k2-4k+1

1+4k2

=1-

4

4k+ 1 k

，
∴当k=-

1

2

时，S_△MNA的平方最大，
故△MAN面积的最大值为：

2

．

点评：本题考察了圆锥曲线与直线的位置关系，求解方程，利用韦达定理求解弦长，面积，转化为函数求解，难度较大．