Question

设a，b，c∈R，a²+（b+1）²+c²=3，则a+b+c的最小值是

 

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Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（法一）利用柯西不等式（a+b+c）²=（a•1+b•1+c•1）²≤（a²+b²+c²）（1²+1²+1²），即可求解；
（法二）直接利用基本不等式，即可求解．

解答： 解：（法一）由柯西不等式：
[a²+（b+1）²+c²]（1²+1²+1²）≥[a+（b+1）+c]²=（a+b+c+1）²，
所以（a+b+c+1）²≤9，
解得-4≤a+b+c≤2，
所以最小值为-4．
（法二）令b+1=t，则a²+t²+c²=1，
∵a²+t²≥2at，t²+c²≥2tc，a²+c²≥2ac
∴（a+t+c）²=a²+t²+c²+2at+2tc+2ac≤a²+t²+c²+（a²+t²）+（t²+c²）+（a²+c²）=3（a²+t²+c²）
∵a²+t²+c²=3，
∴（a+t+c）²≤9，即（a+b+1+c）²≤9
∴-3≤a+b+c+1≤3，
∴-4≤a+b+c+1≤2，
则a+b+c的最小值是-4．
故答案为：-4．

点评：本题主要考查一般形式的柯西不等式的应用，掌握柯西不等式（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）≥（ax+by+cz）²是关键．